Difference between revisions of "Curbe Bezier"

Revision as of 15:22, 5 November 2006

O curbă Bézier este o curbă parametrică inventată de inginerul francez Pierre Bézier şi făcută publică în anul 1962. Bézier a folosito în procesul de design al automobilelor. Curbele Bézier sunt foarte importante şi pentru domeniul tehnologiei informaţiei, fiind folosite în construcţia fonturilor TrueType.

Fig. 1 - Graficul polinoamelor Bernstein de ordinul 0

Fig. 2 - Graficul polinoamelor Bernstein de ordinul 1

Polinoame Bernstein

Polinoamele Bernstein stau la baza curbelor Bézier. Acestea poartă numele matematicianului ucrainian Sergei Natanovich Bernstein.

Pentru a determina polinoamele Bernstein de orice grad se porneşte de la polinomul Bernstein de ordinul zero.

<math>1 = 1</math>

Apoi se scade din ambele părţi o varibilă t şi obţinem:

<math>1-t = 1-t \iff (1-t) + t = 1</math>

Ultima expresie este o combinaţie liniară a polinoamelor Bernstein de bază de ordinul unu. Polinoamele sunt:

<math>\begin{cases} B_{0,1} = 1-t \\ B_{1,1} = t\end{cases}</math>

Acum putem obţine polinoame Bernstein de orice grad prin ridicarea la putere a ultimei expresii:

<math>((1-t) + t)^{2} = 1 \iff (1-t)^{2} + 2t(1-t) + t^2 = 1</math>

Obţinem astfel polinoamele Berstein de bază de ordinul doi: <math>\begin{cases}B_{0,2} = (1-t)^2 \\ B_{1,2} = 2t(1-t) \\ B_{2,2} = t^2 \end{cases}</math>

Fig. 3 - Graficul polinoamelor Bernstein de ordinul 2

Fig. 4 - Graficul polinoamelor Bernstein de ordinul 3

Foarte interesante şi utile sunt graficele polinoamelor Bernstein, pentru înţelegerea modului în care "funcţionează" curbele Bézier.

Definirea unei curbe Bézier

Desenarea unei curbe Bézier

Probleme de interpolare folosind curbe Bézier

Interpolarea a trei puncte

Interpolarea a patru puncte